dom / znanost / matematika / Kako riješiti diferencijalne linearnih jednadžbi

Kako riješiti diferencijalne linearnih jednadžbi

/
120 Posjeta

Kako riješiti diferencijalne linearnih jednadžbi</a>

Diferencijalne jednadžbe u kojoj nepoznati funkcija i njegova derivata uključuju linearni, odnosno prvi stupanj nazvan linearnog diferencijalne jednadžbe prvog reda.

instrukcija

    1

Opći prikaz prvog reda linearna diferencijalna jednadžba je:

y? + P (x) + y = f (x),

gdje y - nepoznato funkciju, p (x) i f (x) -neke određene funkcije. Oni smatraju se kontinuirano u području u kojem želite da se integriraju jednadžbu. Konkretno, oni mogu biti konstante.

    2

Ako je f (x)? 0, tada jednadžba naziva odnorodnym- ako ne - onda, odnosno, nehomogeno.

    3

Linearna homogena jednadžba može riješiti separacijom varijabli. Njegov opći oblik: y? + P (x) + y = 0, dakle:

dy / dx = -p (x) * y, što znači da je dy / y = -P (x) DX.

    4

Integracija obje strane nastalog jednadžbe, dobijemo:

? (Dy / y) = - P (x) dx, odnosno ln (y) = - P (x) dx + ln (C) ili y = C * e ^ (- P (x) dx) ).

    5

Rješenje o nehomogene linearne jednadžbe mogu bitipovući se iz otopine odgovarajućih homogenog, koji je, isto jednadžbe s desne strane pala f (x). Za to, zamijeniti konstantno C u otopini homogenog jednadžbi nepoznate funkcije? (X). Zatim se otopina od nehomogene jednadžbe će biti predstavljen u obliku:

? Y = (x) * e ^ (- P (x) dx)).

    6

Razlikovanje ovaj izraz, vidimo da je derivacija y:

y? = ?? (x) * e ^ (- P (x) dx) - (X) * p (x) * e ^ (- P (x) dx).

Uvrštavanjem izraza za y i y? u originalnu jednadžbu i pojednostavljivanja dobiti lako doći do rezultata:

d? / dx = f (x) * e ^ (? p (x) dx).

    7

Nakon integrirajući obje strane to dobiva vrste:

? (X) =? (F (x) * e ^ (AP (x) dx)) dx + C1.

Dakle, nepoznata funkcija y se izražava kao:

y = e ^ (- p (x) dx) + (C + f (x) * e ^ (p (x) dx) ??) dx).

    8

Ako izjednačiti konstantno C na nulu, a zatim se izraz za y može dobiti određeni otopina danog formulom:

y1 = (e ^ (- p (x) dx)) + (f (x) * e ^ (p (x) dx) ??) dx).

Zatim, cjelovito rješenje može se izraziti kao:

y = y1 = C * e ^ (- p (x) dx)).

    9

Drugim riječima, cjelovito rješenje za linearnenehomogena diferencijalna jednadžba prvog reda jednak zbroju karakterističnim otopine i opće otopinu odgovarajućeg homogene linearne jednadžbe prvog reda.

Kako riješiti diferencijalne linearnih jednadžbi To zadnje promjene: 21. lipnja 2017 od vashuorm
To je glavni unutarnji spremnik tekst podnožja